命题

条件

  • $L/K$是域
  • $L/K$是有限扩张, 是伽罗瓦扩张
  • $\mathbb{M}$ 是全体中间域$M$的集合
  • $\mathbb{H}$ 是伽罗瓦群$Gal(L/K)$的全体子群的集合

    宣称

    (1)

  • $M\in \mathbb{M}$与$H\in\mathbb{H}$ 一一对应: 以下的两个映射互逆 [[1.7.4.15 不动域]]
    • $M\longrightarrow H(M)$
    • $H\longrightarrow M_H$

      (2)

  • $M_1,M_2\in \mathbb{M}$, $H_1,H_2\in \mathbb{H}$之间存在对应关系
    • $M_1\subset M_2 \longleftrightarrow H_1\supset H_2$
    • $M_1\cdot M_2 \longleftrightarrow H_1\subset H_2$
    • $M_1\cap M_2 \longleftrightarrow \left$

      $\left$ 是由$H_1,H_2$生成的$L$的子群

      (3)

      条件
  • $M\in\mathbb{M}$, $H\in\mathbb{H}$相互对应
  • $\sigma\in Gal(L/K)$
    结论
  • $\sigma(M)\longleftrightarrow \sigma H \sigma^{-1}$
  • $M/K$是伽罗瓦扩张 ($\sigma(M)=M$) $\Longleftrightarrow H\lhd Gal(L/K)$

    回忆正规子群的定义: $H=\sigma H \sigma^{-1}$

    派生
  • 若$H\lhd Gal(L/K)$ , 则 $Gal(M/K)\cong Gal(L/K)/H$, 即 $Gal(M/K)\cong Gal(L/K)/Gal(L/M)$
    • 能够这样的理由是$H$是正规子群.

      (理解这个东西的关键在于: $\phi\in Gal(L/K)$, then $\exists \ \psi\in Gal(M/K),\pi\in Gal(L/M)$, s.t. $\phi=\psi+\pi$. 这样就好理解了. $M$内的元素由$\psi$决定, $M$外的元素由$\pi$决定).

证明

  • 首先要理解这个定理考虑的是什么东西: 是中间域和伽罗瓦群($K$-同态群)之间的对应关系

    (1)

    如何证明两边是互逆?

  • $M_{H(M)}=M$
  • $H(M_{H})=H$

    如何证明$M_{H(M)}=M$

  • $M\subset M_{H(M)}$是由定义直接陈述的
  • 通过假设$M\neq M_{H(M)}$, 构造矛盾
    如果两者不相等, 哪里会有矛盾
  • 运用常规思路找一个$\alpha\in M_{H(M)}$, 且$\alpha\notin M$来寻找矛盾
    这样生成的$\alpha$之后可以探索的点在哪里
  • 且根据假设, $[M(\alpha):M]>1$
    • $\exists\ \beta$是$\alpha$的共轭 (重要!!!!!!)
      产生的矛盾在哪里
  • 存在$\psi\in H(M)=Gal(L/M)$, $\psi(\alpha)\neq \alpha$.
  • 这样的$\phi$的定义方式必然是把$\alpha$映射成别的什么
    如何找到这个$\psi$
  • 找一个把$\alpha$映射走的$\phi$, 将$\phi$延拓到$H(M)=Gal(L/M)$之中,
    • [[1.7.3.7(2) 中间域的同态群向域扩张的延申恰有扩张次数个]]
      这个$\phi$要满足什么条件
  • 满足1.7.3.7(2)的定理要求
    • $\phi$需要是$M$-同态
    • $\phi$的定义域需要是$L$的子域
  • 把$\alpha$映射走
    这个定义域是什么
  • $M(\alpha)$, 是一个单扩张, 且是$M_{H(M)}/M$的中间域
    $\phi$如何构造
  • 找一个$\alpha$的共轭, $M(\alpha)\rightarrow M(\beta)$, 只要$\beta$在$L$里面即可满足是一个$M(\alpha)\mapsto L$的同态.
    • [[1.7.1.26某元最小多项式的根都是共轭元, 并引导子域同构]]
  • $\beta\in L$, 因为伽罗瓦扩张是可分扩张[[1.7.4.2 伽罗瓦扩张和伽罗瓦群]]

如何证明$H(M_{H})=H$

  • 通过证明$[L:M_H]=|H|$
    • 这是因为$H(M_H)=[L:M_H]$ [[1.7.4.3 有限次扩张的K-自同构数量小于等于扩张次数, 伽罗瓦扩张则等于]]
如何证明 $[L:M_H]=|H|$
  • 本证明采用的是夹逼方法. 首先已经知道 $|H|<|H(M)|=[L:M_{H}]$.
    • 令$n:=|H|$, 证 $[L:M_{H}]\leq n$
如何证明 $[L:M_{H}]\leq n$
  • 因为是有限扩张, 所以这是一个单扩张 $\exists \alpha$ s.t. $M_{H}(\alpha)=L$
  • 给这个域扩张找一个多项式$f(x)\in M_{H}[x]$, s.t. $f(\alpha)=0$, 这样就有$L\subset M_{H}[x]/(f(x))$
  • 然后证明$\deg(f(x))=n$即可
这样一个$f(x)$是如何构造的?
  • $f(x)=\prod_{\sigma\in H}(x-\sigma(\alpha))$
如何满足 $f(\alpha)=0$?

因为$id\in H$, 所以显然.

如何满足 $f(x)\in M_{H}[x]$?
  • 根据$M_H$的定义, 证明$\tau\in H$, $\tau(f(x))=f(x)$, 即可证明$f(x)$的所有系数都在$M_H$中.\
    • 这个也是显然, 因为$\forall \tau,\sigma\in H$, $\tau\sigma=\tau(\sigma)\in H$, 而$f(x)$要求是跑遍$\sigma \in H$.
如何满足$\deg(f(x))=n$?
  • $|H|=n$.

Q.E.D.

(2)

这总体上是一系列非常明显的推论, 稍微说一下原理就行了

$M_1\subset M_2 \Longleftrightarrow H_1\supset H_2$

  • $H_2$中的同态保证$M_2$不变, 就一定能保证$M_1$不变
  • 反之同理

$M_1 \cdot M_2 \longleftrightarrow H_1\cap H_2$

  • $g$ 令$M_1\cdot M_2$不变, 则$g$ 既令$M_1$不变, 也令$M_2$ 不变
  • 反之亦然, 需要考虑同态加法性质

$M_1 \cap M_2 \longleftrightarrow \left$

  • 令$M_1$和$M_2$中的公共元素不变, 则无论$H_1$还是$H_2$中的元素都是可以的 , 于是$H_1$和$H_2$生成的元素也都是可以的.

(3)

怎么证明问题1 $\sigma(M)\longleftrightarrow \sigma H \sigma^{-1}$ (即$H(\sigma(M))=\sigma H\sigma^{-1}$)

  • statement 1:$\forall \tau\in H(\sigma(M))$, 证明$\sigma^{-1}\circ\tau\circ\sigma\in H$
  • statement 2:$\forall \tau\in H$, 证明$\sigma\circ\tau\circ\sigma^{-1}\in H(\sigma(M))$
如何证明statement 1
  • $\forall \tau\in H(\sigma(M))$, $\forall \alpha\in M$, $\sigma^{-1}\circ\tau\circ\sigma(\alpha)=\alpha$
  • 等价于$\forall \alpha\in M, \tau(\sigma(\alpha))=\sigma(\alpha)$
    • 这是$H$的定义
上面的命题为什么是真的
  • 上述命题等价于$\sigma(M)$的各个元在$\tau\in Gal(L/K)$的作用下不变
    • 这个就是$H(\sigma(M))$的定义!
如何证明statement 2
  • 等价于证明 $\forall \alpha\in \sigma(M), \sigma(\tau(\sigma^{-1}(\alpha)))=\alpha$
  • 等价于证明 $\forall \alpha\in M, \sigma(\tau(\sigma^{-1}(\sigma(\alpha))))=\sigma(\alpha)$
  • 等价于证明 $\forall \alpha\in M, \sigma(\tau(\alpha))=\sigma(\alpha)$
    毕

    总体来说, 这一系列证明的关键在于 1. 用元素指代映射 2. 善用等式配平
    直观上理解, 可以理解为: 最先的$\sigma^{-1}$用来消除原有的$\sigma(M)$中自带的$\sigma$, 经过自等变换后, 再给他套上一个$\sigma$ 恢复原来的$\sigma$. 这是经典共轭映射的做法

问题2 $M/K$是伽罗瓦扩张 $\Longleftrightarrow H\lhd Gal(L/K)$

  • 其实就是证明
    • $M/K$是伽罗瓦扩张 $\Longleftrightarrow$ $\forall \sigma\in Gal(L/K)$, $\sigma H \sigma^{-1}=H$
这个命题怎么证明呢?
  • 构造一系列命题等价链, 最终归结到一个已经被证明的等价命题上
等价链是怎么构造的
  • 根据上述以证明部分
    • $\forall \sigma\in Gal(L/K)$, $\sigma H \sigma^{-1}=H$ $\Longleftrightarrow$ $H=H(M)=H(\sigma(M))$
    • 应证明 $M/K$是伽罗瓦扩张 $\Longleftrightarrow$ $H=H(M)=H(\sigma(M))$
  • 由于$H=H(M)=H(\sigma(M))$ $\Longleftrightarrow$ $\sigma(M)=M$
    • $M/K$是伽罗瓦扩张 $\Longleftrightarrow$ $\sigma(M)=M$ (自然)
  • 由于已知$[M:K]<\infty$, for $\sigma\in Gal(L/K)$, $\sigma(M)=M$ $\Longleftrightarrow$ $\sigma(M)\subset M$
    • 其实这个非常好证明
      • 首先注意到$\sigma$其实是一个同构 [[1.7.3.11 有限扩张的Aut群就是Hom群]]
      • 假设$\exists\ \alpha\in M\backslash \sigma(M)$, 则$M\ /\ \sigma(M)(\alpha)\ /\ \sigma(M)$是有限域扩张且非trivial
      • 这样的话由于$\sigma(\alpha)$与$\alpha$共轭, $\sigma(M)(\sigma(\alpha))$ 也是一个$\sigma(M)$的有限域扩张且扩张次数$\neq 0$
      • 但$\sigma(M)(\sigma(\alpha))\in \sigma(M)$, 矛盾
    • $M/K$是伽罗瓦扩张 $\Longleftrightarrow$ $\forall \sigma\in Gal(L/K)$, $\sigma(M)\subset M$
  • $\forall \sigma\in Gal(L/K)$ $\Longleftrightarrow$ $\forall \sigma\in Hom_{K}^{al}(M,\overline{K})$
    • 这一步是我认为最难以理解的
    • 由于$L/K$是正规扩张(by definition of 伽罗瓦扩张 [[1.7.4.2 伽罗瓦扩张和伽罗瓦群]]), $\sigma\in Hom_{K}^{al}(M,\overline{K})$可以延拓到$Gal(L/K)$中
      • 本来就可以延拓到$Hom_{K}^{L}(L,\overline{K})$ [[1.7.3.7(2) 中间域的同态群向域扩张的延申恰有扩张次数个]]
      • $L/K$是正规扩张的话, 就有$Gal(L/K):=Hom_{K}^{al}(L,\overline{K})$
    • $M/K$是伽罗瓦扩张 $\Longleftrightarrow$ $\forall \sigma\in Hom_{K}^{al}(M,\overline{K})$ [[1.7.3.9 正规扩张的等价条件]]

派生 证明$Gal(M/K)\cong Gal(L/K)/Gal(L/M)$

  • 考虑一个限制同态$\pi:Gal(L/K)\mapsto Gal(M/K)$, 证明他是
    • 证明well-defined
    • 证明满射
    • 找到kernel

well-defined

  • 由于$M/K$是伽罗瓦扩张, 是限制同态, 自然存在well-defined性质

满射

  • 由于是限制同态, 由[[1.7.3.7(2) 中间域的同态群向域扩张的延申恰有扩张次数个]]

$Ker(\pi)$

  • 由定义, kernel是$Gal(L/M)$

Q.E.D