中间域的同态群在域扩张上的延拓恰有扩张次数个

今日开始重启此博客, 主要的问题是意识到了自己是个飞舞. 为了让自己不再那么飞舞, 决定还是靠输出来强行对脑子进行一波输入.
本文, 或者说之后的这一系列的文章都是阅读雪江明彦老师的整数论和代数学的各个定理定义推论之后进行的对证明的理解, 采用问答形式/ 如果之后复习的时候发现了额外的问题, 我会在这里添加上的.

命题

条件

$L/K$有限, 可分扩张
$M$是$L/K$的中间域
$\phi:M\mapsto \overline{K}$同态 ($\phi\in Hom_{K}^{al}(M,\overline{K})$)

宣言

$\phi$的$Hom_{K}^{al}(L,\overline{K})$上延拓个数为从$M$到$L$的扩张次数, 即$\psi\in Hom_{K}^{al}(L,\overline{K})$, $\left.\psi\right|_{M}=\phi$的个数为$[L:M]$个

证明

如何证明延拓个数

有限扩张则$L=K(a_1,\dots,a_n)$
根据[[链式分拆方法]], 构造 $M_0=M,\quad M_1=M(a_1),\quad M_2=M(a_1,a_2),\quad\dots,M_n=M(a_1,a_2,\dots,a_n)=L$
这是一个域扩张链条, 且每两个之间都是单扩张
只需证明$\phi\in Hom_{K}^{al}(M_{i},\overline{K})$延拓到$Hom_{K}^{al}(M_{i-1},\overline{K})$由$[M_{i}:M_{i-1}]$个

将问题转化为单扩张下的问题

为什么单扩张下的问题可以转化为不止单扩张的问题?

$\prod_{i=1}^{n}[M_{i},M_{i-1}]=[M_{n}:M_{0}]=[L:M]$ 域扩张的望远镜公式 [[]]
延拓随扩张次数的乘法关系是明了的

扩张次数和延拓个数之间的关系是通过什么建构的

$\psi\in Hom_{K}^{al}(M_{i-1},\overline{K})$
令$\psi$的$Hom_{K}^{al}(M_{i},\overline{K})$上延拓为$\xi$, 则延拓必然满足$b\in M_{i-1}$, $\xi(b)=\psi(b)$
$a_i$在$M_{i-1}$上的最小多项式$g_i(x)\in M_{i-1}(x)$
证明$\xi(a_i)$与$\psi(g_i)(x)$在$\overline{K}$上的根等价
- $\psi(g_i)(x)$指$\psi$作用在$g_i$的系数之上.

如何证明$\xi(a_i)$是$\psi(g_i)(x)$在$\overline{K}$上的根 (最多这么多个)

证明$\psi(g_{i})(\xi(a_i))=0$
利用$\forall b\in M_{i-1}$, $\xi(b)=\psi(b)$
- $\xi(a_i)$是$\psi(g_i)(x)$在$\overline{K}$上的根

如何证明$\psi(g_i)(x)$在$\overline{K}$上的根是某个$\xi(a_i)$ (上文的这些根都在哪里)

直接方法是需要构造出$\xi\in Hom_{K}^{al}(M_{i},\overline{K})$, 使他是个$\psi$的延拓.

如何从$\psi(g_i)(x)$的根构造延拓?

明确需要构造的目标是一个$M_i\mapsto \overline{K}$的$K$-同态
把$M_i$看作多项式环的商环: $M_i\cong M_{i-1}[x]/(g_i(x))$
假定$\beta$是$\psi(g_i)(x)$的根
$\psi$是$M_{i-1}$到$\psi(M_{i-1})$的映射($\in Hom_{K}^{al}(M_{i-1},\overline{K})$)
选择映射$M_i\mapsto \psi(M_{i-1})(\beta)$($M_i$中的元素就是用$M_{i-1}[x]/(g_i(x))$中的元素来表示): $f(x)+(g_i(x))\in M_{i-1}[x]/(g_i(x))$$$$f(x)+(g_i(x))\mapsto \psi(f)(x)+(\psi(g_i)(x))\mapsto \psi(f)(\beta)\in\psi(M_{i-1})(\beta)$
Well-defined: $\beta$是$\psi(g_i)(x)$的根 —> $\psi(g_i)(\beta)=0$

如何证明$\psi(g_i)(x)$的不同根的个数为$[M_i:M_{i-1}]$

证明$\psi(g_i)(x)$是可分多项式
- 由于$\deg(\psi(g_i)(x))=\deg(g_i(x))=[M_i:M_{i-1}]$, 只要无重根即可

如何证明可分

证明$\psi(g_i)(x)$可以整除某个可分多项式即可

整除谁

$f_i(x)$: $\alpha_i$在$K$上的最小多项式
- 由条件: 有限次可分扩张, $f_i(x)$是可分的.

如何整除?

首先应该有$g_i(x) | f_i(x)$
- $\forall \beta \in M_{i}$ s.t. $g_i(\beta)=0$, 都有$f_i(\beta)=0$. 这是由域扩张决定的 [[1.7.1.11 代数单扩张与其最小多项式的性质]]
$\psi(g_i)(x)|\psi(f_i)(x)$
$\psi$是$K$-同态: $\psi(f_i)(x)=f_i(x)$

Q.E.D

[[1.7.3.1 可分扩张, 完全域]]